یکی از ابزارهای شناسایی و دسته بندی فرایندهای تصادفی تشخیص نوع توزیع آنهاست.
۱-۱-۱۰ تعریف: گیریم یک فرایند تصادفی است. در این صورت توزیع های با بعد متناهی عبارتند از توزیع های توأم بردارهای تصادفی
که در آن و تمام بردارهای ممکن در است. مجموعه ی کلیه ی توزیع های با بعد متناهی یک فرایند تصادفی را توزیع متناهی البعد آن فرایند تصادفی می نامند. [۴۳]
۱-۲ امید شرطی
مفهوم امید شرطی یکی از مهم ترین مفاهیمی است که در درک موضوعاتی چون مارتینگل ها و انتگرال های تصادفی نقشی اساسی دارد. فرض می کنیم یک فضای احتمال باشد. قبل از ارائه ی تعریف امید شرطی، به تعریف زیر توجه کنید.
۱-۲-۱ تعریف: گیریم و و متغیرهای تصادفی، بردارهای تصادفی، یا فرایندهای تصادفی روی هستند و یک σ- جبر روی است. در این صورت
- اگر ، آن گاه گفته می شود که اطلاعات مربوط به در درونℱ قرار دارد یا این که بیش از آنچه که در درون وجود دارد دارای اطلاعات نیست.
- اگر ، آن گاه گفته می شود که بیش ازدارای اطلاعات نیست.[۴۳]
حال تعریف دقیق امید شرطی را تحت σ- جبر ℱ ارائه می دهیم.
۱-۲-۲ تعریف: یک متغیر تصادفی مثل را امید به شرط معلوم بودن σ- جبر می نامند هرگاه، بیش از آنچه که در درون وجود دارد دارای اطلاعات نباشد، یعنی ، و در شرط
صدق کند.[۴۳]
قضیه ی زیر نشان می دهد که این امید شرطی همواره وجود دارد و منحصر به فرد است.
۱-۲-۳ قضیه(رادون- نیکودیم): گیریم یک فضای احتمال، یک σ– جبر دیگر از زیرمجموعه های ، ، و یک متغیر تصادفی روی است. اگر ، در این صورت یک متغیر تصادفی روی وجود دارد به طوری که
(الف) ،
(ب) ،
که در آن . اگر متغیر دیگری باشد که در شرایط (الف) و (ب) صدق می کند، آن گاه
یعنی متغیر تصادفی منحصر به فرد نیز می باشد. متغیر تصادفی را امید به شرط می نامند و آن را با نمایش می دهند.[۴۳] اگر یک متغیر تصادفی، بردار تصادفی، یا فرایند تصادفی روی و ، – جبر تولید شده توسط باشند. در این صورت امید شرطی نسبت به به صورت زیر تعریف می شود:
[۴۳].
امید شرطی دارای خواصی است که به کمک آن ها می توان محاسبات مربوط به آن را ساده تر نمود.در این جا خواص را، بدون ارائه ی اثبات ، به صورت قاعده به شرح زیر ارائه می دهیم :
قاعده ی ۱ [۴۳]
امید شرطی خطی است : برای هر دو متغیر شرطی و و هر دو عدد ثابت و حقیقی و داریم
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
قاعده ی ۲ [۴۳]
امید های ریاضی هر متغیر تصادفی و امید شرطی یکسان هستند :
قاعده ی ۳ [۴۳]
اگر متغیر تصادفی و σ- جبر ℱ مستقل از یکدیگر باشند، آن گاه. به ویژه، اگر متغیر های
تصادفی و مستقل از یکدیگر باشند ، آن گاه
قاعده ی ۴ [۴۳] اگر برای متغیر تصادفی داشته باشیم ، آن گاه به ویژه ، اگر تابعی از متغیر های تصادفی Y باشد ، آن گاه ، در نتیجه .
قاعده ی ۵ [۴۳]
اگر برای متغیر تصادفی داشته باشیم ، آن گاه برای هر متغیر تصادفی داریم
به ویژه ، اگر تابعی از متغیر های تصادفی باشد ، آن گاه ، در نتیجه
قاعده ی۶ [۴۳]
اگر ℱ وʹℱ دو σ- جبر باشد که ʹℱ ℱ ، آن گاه
قاعده ی ۷ [۴۳]
اگر متغیر تصادفی مستقل از σ- جبر باشد ، و اگر ، که در آن یک متغیر تصادفی ، یا یک بردار تصادفی ، یا یک فرایند تصادفی است ، آن گاه برای هر تابع دو متغیره ی
که در آن به معنای آن است که را ثابت نگه داشته و امید را بر حسب محاسبه می کنیم .
قاعده ی ۸ [۴۳]
نامساوی جنسن برای امید شرطی نیز صادق است . یعنی اگر یک متغیر تصادفی ، ، تابعی محدب روی ℝ ، وʹℱ σ- جبری باشد که ℱʹℱ ، آن گاه
۱-۲-۴ تعریف( تابع مشخصه ): فرض کنیم یک فرایند تصادفی باشد ، آن گاه تابع مشخصه ی به صورت زیر تعریف می شود :
که در آن علامت امید ریاضی است [۲۴] .
۱-۳ معرفی چند فرایند تصادفی
در این قسمت چند فرایند تصادفی را معرفی می کنیم که در نظریه ی فرایندهای تصادفی ، فیزیک ، علوم مالی و غیره ، نقش اساسی دارند .
۱-۳-۱ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و فرایندهای تصادفی را حرکت براونی (استاندارد ) می نامند، هرگاه شرایط زیر در مورد آن برقرار باشد:
- این حرکت از صفر شروع می شود ، یعنی .
- نمو های آن مانا ومستقل از یگدیگر باشند، یعنی برای هر و هر به طوری که :
و این که برای هر انتخاب از با , ، متغیر های تصادفی
مستقل از یکدیگر باشند.
- برای هر ، دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس است ، یعنی .
- در سرتاسر تقریباُ همه جا پیوسته است .(با احتمال ۱ هر مسیر آن پیوسته است ).[۴۳]
۱-۳-۲ تعریف ( حرکت براونی توأم با رانش ): گیریم یک حرکت براونی ساده است . در این صورت فرایند با تعریف
که در آن و ثابت هستند ، را حرکت براونی توأم با رانش می نامند . [۴۳]
۱-۳-۳ تعریف ( حرکت براونی هندسی): گیریم یک حرکت براونی استاندارد است . در این صورت فرایند با تعریف
که در آن و ثابت هستند، را حرکت براونی هندسی می نامند. [۴۳]
۱-۳-۴ تعریف ( فرایند گاما ): فرایند تصادفی را یک فرایند گاما گویند، هرگاه
۱) .
۲)نموهای آن مانا و مستقل از یکدیگر باشند.
۳) برای هر ، دارای توزیع گاما باشد.[۴۸]
۱-۴ مارتینگل ها
دانستن مفهوم مارتینگل در درک انتگرال تصادفی، اساسی است .
۱-۴-۱ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و خانواده ای از σ-جبرهایی است که همگی در ℱ قرار دارند. در این صورت را یک فیلتراسیون برای ℱ گویند هرگاه به ازای هر در حقیقت هر فیلتراسیون زنجیره ای غیرنزولی از اطلاعات است . هرگاه دنباله ای صعودی از σ– جبر های روی باشد، آن گاه این دنباله را نیز یک فیلتراسیون می نامند.[۴۳]
در بحث هایی که در اینجا مطرح خواهیم کرد ، معمولاً فیلتراسیون های مورد بحث در ارتباط با فرایندهای تصادفی هستند . به تعریف بعد توجه کنید .
۲-۴-۲ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و و یک فیلتراسیون برای این فضا، و یک فرایند تصادفی روی این فضا است . در این صورت فرایند را نسبت به فیلتراسیون سازگار گویند ، هرگاه
هر فرایند تصادفی مثل همواره نسبت به فیلتراسیون طبیعی تولید شده توسط یعنی
سازگار است .در حقیقت معنای سازگاری با فیلتراسیون این است که ها بیش از آن چه که در است حاوی اطلاعات نیستند .[۴۳]
۲-۴-۳ تعریف: گیریم یک فضای احتمال، یک فیلتراسیون برای این فضا ، و یک فرایند تصادفی روی این فضا است . در این صورت را نسبت به فیلتراسیون یک مارتینگل می نامند، هرگاه
- برای هر ، .
- نسبت به فیلتراسیون سازگار باشد.
- برای هر با ۰ داشته باشیم
یعنی تخمین خوبی برای به شرط معلوم بودن باشد.[۴۳]
۲-۴-۴ تعریف: گیریم یک فضای احتمال ، یک فیلتراسیون برای این فضا باشد. تابع را یک زمان توقف نسبت به فیلتراسیون گویند، اگر برای هر
باشد.[۸]
۱-۵ همگرایی متغیر های تصادفی
فرض کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی روی فضای احتمال باشد . برای این دنباله تعریف می کنند [۴۳]:
الف) همگرایی : می نویسیم اگر
ب) همگرایی در احتمال: می نویسیم اگر برای هر
پ) همگرایی در : می نویسیم ( ) اگر ، و
[۲۲].
ت) اگر برای هر ، تابع توزیع باشد. در توزیع به همگراست، اگر
وقتی که ( ). [۹]
ث) فرض کنیم یک دنباله اندازه احتمال روی باشد. در توزیع به همگراست ( می نویسیم )، اگر
وقتی که ، . [۹]
۱-۵-۱ قضیه: اگر و دو اندازه احتمال روی باشند، آن گاه اگر وفقط اگر
برای هر تابع پیوسته و کراندار . یا به طور معادل اگر برای هرتابع پیوسته کراندار
[۹].
۱-۵-۲ قضیه: در توزیع به همگرا است، اگر و فقط اگر ، برای هر
وقتی که تابع مشخصه ی متغیر تصادفیمی باشد .[۲۴]
۱-۶ فرایند پواسون[۲]
۱-۶-۱ تعریف: متغیر تصادفی پیوسته روی فضای احتمال با تابع چگالی احتمال
را متغیر تصادفی نمایی[۳] با پارامتر می نامند. [۲۴]
۱-۶-۲ تعریف: متغیر تصادفی گسسته با مجموعه مقادیر ، متغیر تصادفی پواسون با پارامتر λ می نامند ، اگر
[۲۴].
۱-۶-۳ تعریف: گیریم یک دنباله از متغیر های تصادفی مستقل نمایی با پارامتر λ باشند و . آن گاه فرایند با تعریف
یک فرایند پواسون با نرخ λ نامیده می شود .[۲۴]
در واقع فرایند پواسون یک فرایند شمارشی است ، یا به طور معادل، تعداد زمان های تصادفی {} بین زمان و را شمارش می کند که برای آن یک دنباله ی مستقل وهم توزیع از متغیر های نمایی هستند . در حالت کلی اگر یک دنباله افزایشی از زمان های تصادفی با داده شده باشد، آن گاه فرایند شمارشی مرتبط با آن، ، به صورت زیر تعریف می شود:[۲۴]
تعداد زمان های تصادفی است که در بازه ی رخ می دهد و شرط ، با احتمال ۱، خوش تعریف بودن(متناهی) را تضمین می کند(برای هر ). اگر زمان های تصادفی به عنوان مجموع جزئی از یک دنباله ی مستقل و هم توزیع متغیرهای تصادفی نمایی باشند، آن گاه یک فرایند پواسون است. [۲۴] در حالت کلی برای یک فرایند شمارشی، دنباله ی زمان های تصادفی می توانند هر توزیع و ساختاری داشته باشند.
۱-۶-۴ قضیه: اگر یک فرایند شمارشی با نموهای مستقل و مانا باشد، آن گاه یک فرایند پواسون است.[۲۴]
خاصیت های فرایند های پواسون در قضیه ی بعد بیان می شوند .
۱-۶-۵ قضیه: گیریم یک فرایند پواسون باشد، آن گاه ۱) .
۲) برای هر ، ، متناهی است .
۳) برای هر ، مسیر های نمونه ای به طور قطعه ای ثابت هستند و به وسیله پرش هایی به اندازه ۱ افزایش پیدا می کند .
۴) مسیر های نمونه ای ، با احتمال ۱، از راست پیوسته و دارای حد چپ باشند.
۵) برای هر t ، با احتمال ۱ ، است.
۶) در احتمال پیوسته است ، یعنی
۷) برای هر ، دارای توزیع پواسون با پارا متر می باشد .
۸) تابع مشخصه ی به صورت زیر است :
۹) دارای نموهای مستقل است : برای هر
متغیر های تصادفی مستقل از یکدیگرند .
۱۰) دارای نموهای ماناست: برای هر ، دارای توزیع مشابه با می باشد.
اثبات: (قضیه ی ۲-۱ [۲۴]).
۱-۶-۶ تعریف(فرایند پواسون جبران شده[۴]): این فرایند نسخه ی متمرکز فرایند پواسون است و به صورت زیر تعریف می شود:
که در آن λ نرخ فرایند است.
این فرایند دارای تغیرات مستقل است و همچنین
در نتیجه فرایند پواسون مارتینگل نیست، اما جبران شده ی آن یعنی مارتینگل است :
[۲۴].
۱-۶-۷ تعریف(فرایند پواسون ترکیبی[۵] ): یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ و توزیع به اندازه پرش یک فرایند تصادفی می باشد، که به صورت زیر تعریف می شود:
که در آن اندازه های پرش ، مستقل و هم توزیع با هستند و یک فرایند پواسون با نرخ λ ، مستقل از ، می باشد .[۸]
۱-۶-۸ تعریف: توزیع احتمال روی را به طور نامتناهی تفکیک پذیر(بخش پذیر)[۶] می گویند، اگر برای هر عدد صحیح، ، متغیر تصادفی مستقل و هم توزیع وجود داشته باشد، به طوری که
نیز دارای توزیع باشد یا به طور معادل [۲۴]
۱-۶-۹ نتیجه: گیریم متغیر تصادفی دارای تابع توزیع باشد. به طور نامتناهی تفکیک پذیر است، اگر و فقط اگر، برای هر، وجود داشته باشد به طوری که
که در آن Φ تابع مشخصه است.[۸]
۱-۶-۱۰ مثال: اگر بردار یک متغیر تصادفی گاوسی باشد. بنابراین تابع چگالی به
صورت زیر است:
که در آن بردارd (میانگین ( یک ماتریس متقارن معین مثبت (ماتریس کواریانس) می باشد(منظور از ضرب داخلی است) در این حالت می نویسیمتابع مشخصه ی به صورت زیر است:
بنابراین
با توجه به ۱-۶-۹، می توان نتیجه گرفت که دارای یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر است و هر .
۱-۶-۱۱ مثال: اگر متغیر تصادفی دارای توزیع پواسون با نرخ λ باشد، یعنی که .تابع مشخصه ی به صورت زیر است:
همچنین اگر توزیع برای و به صورت باشد، آن گاه دارای یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر است.
۱-۶-۱۲ مثال: گیریم یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ λ و توزیع اندازه پرش های باشد، آن گاه با توجه به قضیه ی(۳٫۴ [۲۴]) تابع مشخصه ی آن به صورت زیر است:
اگر برای هر ، یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ و توزیع اندازه پرش های باشد ، آن گاه دارای یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر است.
۱-۷ اندازه های تصادفی[۷]
فضای احتمال را در نظر می گیریم. همچنین فرض می کنیم یک مجموعه و یک حلقه از زیرمجموعه های باشد.
۱-۷-۱ تعریف(اندازه تصادفی): اندازه تصادفی روی ، یک مجموعه از متغیرهای تصادفی است به طوری که ۱) ، ۲) برای دو مجموعه ی مجزای داشته باشیم:
[۸].
گیریم یک فرایند پواسون باشد، همان طور که در بخش ۱-۶ گفته شد ، فرایند پواسون ، یک فرایند شمارشی است . اگر دنباله ای از زمان های پرش باشند ، آن گاه را می توان، تعداد
پرش های بین بازه ، بدین صورت تعریف کرد :
به طور مشابه ، اگر ، آن گاه
در واقع زمان های پرش ترکیب تصادفی از نقاط روی می باشند و فرایند پواسون تعداد چنین نقاطی را در بازه ی ، شمارش می کند . این فرایند شمارشی ، یک اندازه روی بازه ی تعریف می کند .[۲۴] برای هر مجموعه ی اندازه پذیر تعریف می کنیم :
یک اندازه است، که مقادیر صحیح را اختیار می کند و با احتمال ۱، برای هر مجموعه ی کراندار ، متناهی است . باید توجه داشت که اندازه ی به بستگی دارد ، بنابراین یک اندازه ی تصادفی است . نرخ λ از فرایند پواسون، میانگین اندازه ی تصادفی را تعیین می کند :
جایی که یک اندازه لبگ از می باشد . را اندازه ی پرش تصادفی مرتبط ، با فرایند پواسون می نامند. [۲۴] می توان فرایند پواسون را به صورت زیر تعریف کرد :
با توجه به ارتباط بین اندازه ی و فرایند پواسون خواص زیر برای اندازه ی برقرار می باشند: [۲۴]
اگر یک اندازه پرش تصادفی متناظر با فرایند پواسون باشد. آن گاه برای بازه های دو بدو مجزای :
۱) تعداد پرش های فرایند پواسون در بازهی است و یک متغیر تصادفی پواسون با پارامتر میباشد.
۲) برای دو بازهی مجزا با ، متغیرهای تصادفی و مستقل هستند.
۳) در حالت کلی برای هر مجموعهی اندازه پذیر ، دارای توزیع پواسون با پارامتر میباشد، که یک اندازه لبگ از است.[۲۴]
۱-۷-۲ تعریف: اندازهی تصادفی متناظر با فرایند پواسون جبران شدهی ، به صورت زیر تعریف میشود:
از تعریف بالا نتیجه میشود که و .توجه کنید که برخلاف یک فرایند شمارشی نیست و یک اندازهی علامتدار است.[۲۴]
اندازهی یک اندازهی تصادفی شمارشی برای هر مجموعهی اندازه پذیر است. به وسیلهی زمان های و اندازه لبگ مشخص میشود. در این قسمت این ساختار را به حالت کلی تری توسعه خواهیم داد. در واقع را، به وسیلهی یک و اندازه لبگ را به وسیلهی هر اندازهی رادون[۸] روی
جایگزین خواهیم کرد.
۱-۷-۳ تعریف(اندازهی رادون): گیریم باشد. روی یک اندازه ی رادون است، هرگاه برای هر مجموعهی اندازه پذیر فشردهی ، . [۲۴]
۱-۷-۴ تعریف(اندازه تصادفی پواسون): گیریم یک فضای احتمال باشد و و یک اندازه رادون مثبت روی باشد.( یک – جبر از زیر مجموعههای است) اندازهی تصادفی پواسون روی ، با اندازهی نرخ ، یک اندازهی تصادفی با مقادیر صحیح است:
به طوری که:
۱) برای تقریباً همه جا ، یک اندازه ی رادن با مقادیر صحیح، روی باشد، یا به طور معادل: برای هر مجموعهی اندازه پذیر کراندار با ، یک متغیر تصادفی با مقادیر صحیح باشد. . ۲) برای هر مجموعهی اندازه پذیر یک متغیر تصادفی پواسون با پارامتر باشد، یعنی
۳) برای مجموعههای اندازه پذیر دو بدو مجزای ، متغیرهای مستقل از یکدیگر باشند.[۲۴]
۱-۷-۵ قضیه: برای هر اندازهی رادون روی ، یک اندازهی تصادفی پواسون روی با نرخ وجود دارد. اثبات: (قضیه ی ۲٫۱۴ [۲۴]) .
۱-۷-۶ تعریف: اندازهی تصادفی پواسون جبران شده ی[۹] به صورت زیر تعریف میشود:
[۲۴]. با توجه به تعریف اندازهی تصادفی پواسون ، برای مجموعههای فشردهی دوبدوی مجزای ،ثابت میشود[۲۴] متغیرهای مستقل هستند و
در قسمت بعد به تعریف یکی از ابزارهای مالی یعنی اختیارمعاملات[۱۰] خواهیم پرداخت.
۱-۸ اختیار معاملات
دگرگونی اقتصاد جهانی طی دهه های اخیر و توسعهی اقتصادی موجب ابداع یا تکامل ابزارهای متعدد مالی گردیده است. علاوه بر گسترش معاملات سنتی، داراییهای فیزیکی و مالی، مبادلات ابزار مشتقه شامل قراردادهای آتی[۱۱]، قراردادهای اختیار معامله و قراردادهای معاوضهای[۱۲] شتاب روزافزونی یافته است. به نحوی که ارزش جاری قراردادهای مشتقه منتشر شده در بازار که دارای موقعیت باز میباشند، در طی سال ۲۰۰۴ در حدود ۵۰ تریلیون دلار برآورد شد (که تحقق یافته است) [۵]. هدف این پایان نامه ارزش گذاری اختیار معاملات می باشد. پس به تعریف این نوع مشتقات خواهیم پرداخت.
۱-۸-۱ تعریف (مشتق مالی) : مشتق مالی[۱۳] یک ابزار مالی است که ارزش آن از سایر ابزارهای مالی مشتق می شود، به این معنی که قیمت آتی این ابزارها به قیمت آتی یک ابزار مالی پایه متصل شده است و علت نام گذاری این ابزارها به عنوان مشتقه نیز همین امر می باشد چرا که ارزش خود را از سایر دارایی ها همچون اوراق بهادار، نرخ سود، نرخ ارز، شاخص سهام و حتی کالای اساسی کسب می کنند و لذا تغییرات قیمت هر یک از مشتقات، تابعی از تغییرات قیمت دارایی پایه آن هاست. برای مثال اختیار معامله یک مشتق مالی است که توسط جبرانی[۱۴] آن (تابعی از دارایی های بنیادین(سهام)، ) تعریف می شود..[۵] به طور کلی دو نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: [۳۶]
- قرارداد اختیار خرید[۱۵]
- قرارداد اختیار فروش[۱۶]
۱-۸-۲ تعریف( قرارداد اختیار خرید): این قرارداد به دارندهی آن، این حق (نه اجبار) را میدهد تا دارایی را در تاریخ معینی و با قیمت مشخصی خریداری نماید. [۳۶]
۱-۸-۳ تعریف(قرارداد اختیار فروش): این قرارداد به دارندهی آن، حق(نه اجبار) فروش یک دارایی در تاریخ
معین و با قیمت مشخص را میدهد. [۳۶]
تاریخی که قرارداد معین میکند، به «تاریخ انقضاء» یا « سررسید اختیارمعامله[۱۷]» معروف است. قیمت تعیین شده
در قرارداد تحت عنوان «قیمت توافقی[۱۸]» نامیده میشود [۳۶] .دو نوع مشتقات در مورد اختیار معاملات وجود دارد:
۱) مشتقات یا محصولات استاندارد[۱۹] ۲) مشتقات یا محصولات غیر استاندارد[۲۰] [۳۶] مشتقات استاندارد دارای ویژگیهای استاندارد و معین است و معاملات آن ها از گرمی و روانی خوبی برخوردار میباشد. همچنین قیمت آن ها و میزان نوسان پذیریهای ضمنی توسط بورس یا کارگزاران مطابق مقررات و قوانین اعلام میشود . این نوع محصولات دو دسته اند: آمریکایی یا اروپایی ( تفاوت این دو نوع اختیار معامله ربطی به منطقهی جغرافیایی ندارد) [۳۶]
اختیار معاملهی آمریکایی[۲۱] در هر زمان از طول دورهی عمر قرارداد تا تاریخ انقضا یا در تاریخ سررسید قابل
اعمال است، ولی اختیار معاملهی اروپایی[۲۲] تنها در تاریخ انقضای آن قابل اعمال است. [۳۶]
یکی از خصوصیات بازار مشتقات خارج از بورس، وجود تعداد زیادی از محصولات غیر استاندارد یا غیر متعارف است که توسط مهندسان مالی ابداع و ایجاد میشوند. هر چند که معمولاً این قبیل محصولات بخش کوچکی از سبد سرمایه گذاری را تشکیل میدهد، با این حال چون که عموماً سودآوری این محصولات بیشتر از محصولات استاندارد است، از اهمیت زیادی برای یک بانک(مؤسسه) سرمایه گذاری دارند. [۳۶]
در این قسمت به بررسی اختیار معاملات توأم با مانع[۲۳] از محصولات غیر استاندارد، خواهیم پرداخت.
۱-۸-۴ تعریف(اختیار معاملات توأم با مانع): این نوع اختیار معاملات، اختیار معاملاتی هستند که جبرانی آن ها بستگی به این دارد آیا ارزش سرمایهی بنیادین آن ها به سطح مشخصی در طول اعتبار آن میرسد یا نه. اختیار
معاملات توأم با مانع به دو دسته تقسیم میشوند:
- اختیار معاملات (ارزشمند)
- اختیار معاملات (بی ارزش) [۳۶]
در اختیار معاملات نوع اول هنگامی که قیمت دارایی پایه به سطح معینی برسد، قرارداد اختیار معامله را از آن به بعد میتوان به اجرا گذارد. در اختیار معاملات نوع دوم، هنگامی که قیمت دارایی پایه به سطح معینی برسد، قرارداد اختیارمعامله بی ارزش میشود. [۳۶] چهار نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: ۱) یک اختیار خرید ، قرارداد اختیار خرید اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش میشود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده بالاتر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶]
۲) یک قرارداد اختیار خرید به طریق مشابه تعریف میشود، منتها سطح تعیین شده پایین تر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد اختیار معامله است.[۳۶]
۳) یک اختیار فروش ، قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش میشود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده بالاتر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶]
۴) یک قرارداد اختیار فروش ، قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش میشود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶] به همین ترتیب چهار نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: ۱) یک اختیار خرید یک قرارداد اختیار خرید اروپایی رسمی است که اجرای آن منوط به رسیدن قیمت دارایی به سطح معین میباشد. سطح معین در ابتدای قرارداد بیشتر از قیمت دارایی تعیین میشود.[۳۶] ۲) یک قرارداد اختیار خرید شبیه قرارداد فوق است با این تفاوت که سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در ابتدای انعقاد اختیار معامله می باشد [۳۶]. ۳) یک اختیار فروش یک قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که اجرای آن منوط به رسیدن قیمت دارایی به سطح معین میباشد. سطح معین در ابتدای قرارداد بیشتر از قیمت دارایی تعیین میشود.[۳۶]
۴) یک قرارداد اختیار فروش شبیه قرارداد فوق است با این تفاوت که سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در ابتدای انعقاد اختیار معامله می باشد [۳۶].
۱-۹ معادلات انتگرو دیفرانسیل جزئی[۲۴]
۱-۹-۱ تعریف: یک معادله ی متشکل از دو یا تعداد بیشتری متغیر مستقل همراه با مشتقات جرئی یک یا تعداد بیشتری متغیر وابسته نسبت به متغیرهای مستقل، یک معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی نامیده می شود.[۳۳]
۱-۹-۲ تعریف: معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی می گویند اگر متغیرهای وابسته و مشتقات آن ها در معادله ی دیفرانسیل به صورت خطی ظاهر شوند.معادله ی دیفرانسیل را که خطی نباشد، غیر خطی می گویند. [۳۳]
مرتبه ی یک معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی برابر با بالاترین مرتبه ی مشتقی است، که در معادله ظاهر می شود.
صورت کلی یک معادله ی دیفرانسیل خطی مرتبه ی دوم برای دو متغیر مستقل عبارت است از :
معادله ی بالا را یک معادله ی سهموی می گویند، هرگاه
[۳۳] . ۱-۹-۳ تعریف: یک معادله ی متشکل از دو یا تعداد بیشتری متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی یک یا تعداد بیشتری متغیر وابسته نسبت به متغیرهای مستقل و یک بخش انتگرالی را ، یک معادله ی انتگرو دیفرانسیل جزئی می نامند یا به طور معادل:
[۳۲].
فصل دوم
فرایندهای لوی
ابداع نظریه ی فرایندهای تصادفی، یکی از مهمترین پیشرفت های علمی است.از دیدگاه شهودی، هدف این نظریه الگوسازی ((شانس)) به کمک ((زمان)) است.فرایندهای تصادفی، نه تنها موجودات ریاضی غنی هستند، بلکه کاربردهای وسیعی در فیزیک، مهندسی، زیست شناسی و اقتصاد نیز دارند . این بخش، مقدمه ای است برای آشنایی با رده ای از فرایندهای تصادفی که به افتخار احتمال دان بزرگ فرانسوی پل لوی[۲۵]، که اولین بار آن ها را در دهه ی ۱۹۳۰ مطالعه و بررسی کرد، فرایندهای لوی نام گرفته اند. ساختار اساسی این فرایند در((دوران طلائی)) نظریه ی احتمال در دهه ی ۱۹۴۰-۱۹۳۰ توسط لوی، ریاضیدان روسی خینچین[۲۶] و ایتو[۲۷] در ژاپن، شناسایی گردید. در سال های اخیر، به دلیل پیشرفت های نظری و هم چنین گستره ی وسیعی از کاربردهای جدید به ویژه در ارزیابی قراردادهای اختیار معامله در مدیریت مالی، علاقه به این فرایند افزایش یافته است و از سال ۱۹۹۸ گردهمائی های تخصصی ویژه ی این فرایند برگزار شده است [۱و۲۴] .
۲-۱ ساختار فرایندهای لوی
۲-۱-۱ تعریف: فرایند تصادفی را یک فرایند لوی روی گویند، هرگاه :
- با احتمال یک .
- دارای نموها مستقل و مانا باشد، یا به طور معادل: برای هر و هر
و برای هر دنباله ی متناهی مرتب از زمان ها ، متغیرهای تصادفی
مستقل باشند.
- به طور تصادفی پیوسته باشد، به عبارت دیگر برای هر و هر :
۴) مسیرهای نمونه ای آن، با احتمال ۱، از راست پیوسته و دارای حد چپ باشند.(کادلاگ[۲۸])[۲۴و۸]
در واقع تا سال های متمادی نام این فرایند، فرایند دارای نموهای مستقل مانا بود. [۱]
۲-۱-۲ قضیه: اگر یک فرایند لوی باشد. آن گاه برای هر ، یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر دارد. برعکس، اگر یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر باشد، آن گاه یک فرایند لوی وجود دارد،
به طوری که دارای توزیع است.
اثبات:]۸[ .
۲-۱-۳ مثال: اگر یک حرکت براونی باشد. بنابر مثال ۱-۶-۱۰ و قضیه ی ۲-۱-۲ یک فرایند لوی است.
۲-۱-۴ مثال: اگر یک فرایند پواسون باشد، آن گاه بنابر مثال ۱-۶-۱۱ و قضیه ی ۲-۱-۲ نتیجه می شود که ، فرایند لوی است.
۵-۱-۲ مثال: گیریم یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ λ و توزیع اندازه پرش های باشد، آن گاه با توجه به مثال ۱-۶-۱۲ و قضیه ی ۲-۱-۲ نتیجه می گیریم که یک فرایند لوی است.
۲-۱-۶ قضیه(تابع مشخصه ی فرایند لوی): اگر یک فرایند لوی روی باشد، آن گاه تابع پیوسته ی وجود دارد، به طوری که
تابع را نمای مشخصه یا نمای لوی ، فرایند می نامند[۲۶] .
در این قسمت قصد داریم با بهره گرفتن از مفهوم اندازه ی تصادفی که در بخش ۱-۷ معرفی شد رفتار پرش های فرایند پواسون ترکیبی را بررسی کنیم.
برای هر فرایند کادلاگ، یا به طور خاص برای هر فرایند پواسون ترکیبی مانند روی می توان یک اندازه تصادفی را روی به عنوان توصیف پرش های مرتبط کرد(بخش ۲٫۶ [۲۴])، یعنی این که برای هر مجموعه اندازه پذیر ،
و برای هر مجموعه ی ، تعداد زمان های پرش بین و را شمارش می کند، به طوری که اندازه های پرش آن در هستند.[۲۴]
متناظر با هر نمای مشخصه، یک فرایند لوی وجود دارد که مسیرهای آن با احتمال یک از راست پیوسته و از چپ دارای حد هستند(کادلاگ)، به این دلیل، فرایند تنها می تواند ناپیوستگی های پرشی داشته باشد، و در هر بازه ی زمانی بسته، فقط تعداد شمارش پذیر از این ناپیوستگی ها وجود دارد.
۲-۱-۷ تعریف(اندازه لوی): اگر یک فرایند لوی روی باشد. اندازه ی لوی روی برای هر مجموعه بورل از به صورت زیر تعریف می شود:
در واقع برای هر واحد زمانی، تعداد پرش های مورد انتظاری است که اندازه ی آن ها متعلق به Aاست و اندازه ی پرش در لحظه ی و حد چپ است [۲۴].
۲-۱-۸ قضیه: اگر یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ و توزیع اندازه پرش باشد. آن گاه اندازه ی پرش آن، ، یک اندازه تصادفی پواسون روی است، با اندازه ی نرخ
و هر فرایند پواسون ترکیبی را می توان به صورت زیر نوشت:
اثبات: (قضیه ی ۳٫۵ [۲۴]) .
۲-۱-۹ قضیه (تجزیه ی لوی – ایتو[۲۹]): گیریم یک فرایند لوی روی و همچنین یک اندازه ی لوی باشند، آن گاه
- یک اندازه ی رادون روی است، که در شرایط زیر صدق می کند:
- اندازه پرش ، که با نشان داده می شود، یک اندازه ی تصادفی پواسون روی است(با اندازه نرخ ).
- یک بردار و یک حرکت براونی – بعدی با ماتریس کواریانس وجود دارد به طوری که
که در آن
سه تایی را سه تایی مشخصه یا سه تایی فرایند می نامند.[۲۴]
در هر بازه ی زمانی متناهی، فرایند در (۱)، فقط تعداد متناهی پرش با اندازه ی بزرگتر از واحد دارد. مجموع این تعداد متناهی پرش ها را می توان به صورت نوشت. به همین ترتیب مجموع پرش های با اندازه ی بزرگتر از و کمتر از یک، عبارت است از امّا حد این عبارت هنگامی که ، ممکن است واگرا باشد. استدلال لوی آن بود که تمایز بین تجمع تعداد بسیار زیادی از پرش های با اندازه ی کوچک و حرکات تعینی بسیار شدید، دشوار است. به این دلیل لازم است عبارت
را به جای ، در نظر گرفت که در آن دنباله ای از مارتینگل های انتگرال پذیر با میانگین صفرهستند این دنباله در میانگین مربعی همگرا به یک مارتینگل به صورت است، و اندازه تصادفی پواسون جبران شده است، که در بخش ۱-۷ تعریف شد.
حال با شناخت از ساختار فرایند لوی می توان تابع مشخصه ی آن را به دست آورد.
۲-۱-۱۰ قضیه (نمایش لوی – خینچن[۳۰]): اگر یک فرایند لوی روی با سه تایی مشخصه ی باشد، آن گاه
وقتی
اثبات: با توجه به تجزیه ی لوی-ایتو داریم که متغیر تصادفی (تقریباً همه جا) به ، وقتی که به صفر میل می کند، همگراست و از همگرایی (تقریباً همه جا) همگرایی در توزیع را نتیجه می گیریم. بنابراین با توجه به قضیه ی ۱-۵-۲، نتیجه می گیریم که تابع مشخصه ی به تابع مشخصه ی همگرا است . چون مستقل هستند وبا توجه به ۲-۱-۵، ۲-۱-۶ و ۲-۱-۷ داریم:
اگر برای هر را به سمت صفر میل دهیم، اثبات کامل می شود( . ضرب داخلی است).
برای فرایندهای لوی حقیقی مقداریک بعدی، فرمول لوی- خینچن به صورت زیر است:
۲-۲ ارتباط بین فرایندهای لوی وفرایندهای مارکوف[۳۱]:
۲-۲-۱ (فرایند مارکوف): به فرایندی یک فرایند مارکوف گویند که داشتن حال آینده را از گذشته مستقل کند، به عبارت دیگر اگر یک فضای احتمال، مجهز به فیلتراسیون باشد و همچنین
یک فرایند سازگار باشد. را یک فرایند مارکوف می نامند اگر برای همه ی
و هر ۰
[۸].
۲-۲-۲ قضیه : فرض کنیم یک فرایند لوی باشد، آن گاه یک فرایند مارکوف است .
اثبات : [۸].
۲-۲-۳ قضیه (خاصیت قوی مارکوف): اگر یک فرایند لوی و یک زمان توقف باشند، آن گاه روی ، فرایند با تعریف (به ازای هر ) : ۱) یک فرایند لوی مستقل از است. ۲) برای هر ، دارای توزیع یکسان با می باشد. ۳) دارای مسیرهای نمونه ای کادلاگ است وهمچنین – سازگار می باشد.
اثبات: ( قضیه ی (۲٫۲٫۱۱) [۸]).
۲-۲-۴ تعریف(هسته ی انتقالی[۳۲]): هسته ی انتقالی از فرایند به صورت زیر تعریف می شود:
در واقع تعریف بالا احتمال انتقال از نقطه ی در زمان به مجموعه ی ، در زمان است.[۸]
۲-۲-۵ قضیه(معادله ی چپمن- کلموگورف[۳۳]): اگریک فرایند مارکوف باشد،آن گاه برای هر و :
با توجه به تعریف هسته ی انتقالی به آسانی می توان نتیجه گرفت که هسته ی انتقالی فرایندهای لوی در زمان و فضا همگن است، یعنی
۲-۲-۶ تعریف: خانواده دو پارامتری از عملگرهای خطی روی به صورت زیر تعریف می شود، وقتی یک فرایند مارکوف است:
[۸].
از ویژگی های مارکوف نتیجه می شود که این خانواده یک دستگاه تحولی[۳۴] تشکیل می دهد، به این معنی که برای هر ، معادله ی برقرار است. حال اگر تعریف شود ، آن گاه ویژگی تحولی به ویژگی نیم گروهی[۳۵]، ، تبدیل می شود.[۸]
۲-۲-۷ تعریف(فرایندهای فلر[۳۶]): یک فرایند مارکوف همگن را یک فرایند فلر گویند، اگر
وقتی فضای باناخ مرکب از توابع پیوسته روی است که در بی نهایت صفرند.[۸]
۲-۲-۸ قضیه: اگر نیم گروه در خاصیت فلر صدق کند، آن گاه مولد بی نهایت کوچک[۳۷] برای این نیم گروه وجود دارد که به صورت زیر تعریف می شود:
جایی که همگرایی در حالت نرم سوپریمم روی C0 است و نیز باید وجود داشته باشد. [۸]
۲-۲-۹ قضیه: فرایند لوی یک فرایند فلر است.
اثبات: [۸].
حال می توان یک مولد بی نهایت کوچک برای فرایندهای لوی ارائه داد.
۲-۲-۱۰ قضیه(مولد بی نهایت کوچک فرایندهای لوی): اگر یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی روی باشد، آن گاه مولد بی نهایت کوچک ، ، به صورت زیر به دست می آید:
عبارت بالا برای با محمل فشرده خوش تعریف است. که در آن فضای توابع دو بار مشتق پذیر و پیوسته که در بی نهایت صفرند، می باشد.[۲۴]
۲-۲-۱۱ نتیجه: فرض کنیم شرایط قضیه ی بالا برقرار باشند و همچنین به ازای هر ، آن گاه مولد بی نهایت کوچک یعنی به صورت زیر است:
۲-۳ فرایندهای لوی و مارتینگل ها
یکی از مفاهیم تئوری احتمال و ریاضیات مالی ، مفهوم مارتینگل است که در بخش ۱-۴ به آن پرداخته شد.
۲-۳-۱ قضیه: اگر یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی باشد: الف) یک مارتینگل است،اگر و فقط اگر ،
ب) مارتینگل است، اگر و فقط اگر،
[۲۴].
۲-۳-۲ تعریف(فرایندهای تبعی[۳۸]): هر فرایند لوی یک بعدی که با احتمال یک غیرنزولی باشد ، یک فرایند تبعی نامیده می شود . برای این فرایندها ، تبدیل فوریه ی تعریف کننده ی تابع مشخصه را می توان ادامه ی تحلیلی داد تا تبدیل لاپلاس آن به صورت
به دست آید. که در آن
در اینجا ، و یک اندازه ی لوی است با این ویژگی که و
(تابع را نمای لاپلاس[۳۹] فرایند تبعی می نامند). [۸و۲۴]
یک کاربرد مهم فرایندهای تبعی در تغییر مقیاس زمانی فرایندهای لوی است.
۲-۳-۳ قضیه: فضای احتمال را در نظر می گیریم. اگر یک فرایند لوی با نمای مشخصه ی و یک فرایند تبعی مستقل از با نمای لاپلاس و سه تایی باشد ، آن گاه فرایند
یک فرایند لوی می باشد که تابع مشخصه ی آن
است و دارای سه تایی مشخصه ی با
است که در آن ها توزیع احتمال است.[۲۴]
روش ارائه شده در قضیه ی بالا ، اولین بار در دهه ی ۱۹۵۰ توسط بوخنر[۴۰] مطالعه گردید و به این دلیل گاهی آن را به افتخار او « تبعی سازی به معنای بوخنر » می نامند.[۱]
دو نوع از فرایندهای لوی ، که دارای کاربرد زیادی در مدل های مالی دارای پرش هستند را در ادامه بررسی خواهیم
کرد: گروه اول، مدل های از نوع دیفیوژن پرشی[۴۱] و گروه دوم ، مدل های با فعالیت نامتناهی[۴۲].
۲-۳-۴ تعریف(مدل های از نوع دیفیوژن پرشی): این مدل ها، یک فرایند لوی با یک مولفه ی گاوسی غیر صفر و بخش پرشی با پرش های متناهی هستند و دارای فرم زیر هستند:
که در آن ها هم توزیع و مستقل از یکدیگرند، مولفه ی گاوسی و یک فرایند پواسون و مستقل از ها است. از جمله خواص مهم این نوع مدل ها این است که ، توزیع اندازه پرش های آنها شناخته شده است.[۲۴]
مدل مرتون[۴۳]، یک مدل دیفیوژن پرشی است[۲۴]: پرش های در ارزش- لگاریتمی دارای توزیع لگاریتمی است یا به عبارت د