(۲-۲)
این مدل، مدل جمعی BCC است که با حذف قید به مدل جمعی CCR تبدیل میشود. در مدل جمعی واحد تحت ارزیابی کار است اگر و فقط اگر Z*=0 که Z* مقدار بهینه تابع هدف را نشان میدهد. (عبادی، ۱۳۹۰ : ۳۱)
مدل متغیر کمکی تعدیل یافته (SA) که توسط سوییشی و همکاران در سال ۱۹۹۹ ارائه شد مبتنی بر اعمال محدودیتهای وزنی بر روی بردارهای u و v میباشد:
(۲-۳)
که در آن
(عبادی، ۱۳۹۰ : ۳۱)
مدل اندرسون و پیترسون
اندرسون و پیترسون در سال ۱۹۹۳ مدل ابرکارایی را برای رتبهبندی واحدهای کارای راسی معرفی کردند که به مدل AP مشهور است. آن ها جهت تعیین رتبهی واحد تصمیم گیرنده (o) آن را از مجموعه امکان حذف کردند و مدل را برای باقیماندهی DMU ها اجرا نمودند. مدل پیشنهادی آن ها برای رتبهبندی DMUo چنین است:
(۲-۴)
سادگی و راحتی استفاده از این مدل باعث شده که علیرغم ضعفها و کمبودهایی که در این روش وجود دارد، کاربرد وسیعی در همه زمینهها داشته باشد (عبادی، ۱۳۹۰ : ۳۲).
با این تکنیک، امتیاز واحدهای کارا میتواند از یک بیشتر شود. به این ترتیب واحدهای کارا نیز مانند واحدهای ناکارا میتوانند رتبهبندی گردند. رتبهبندی واحدهای کارا به صورت زیر انجام میگیرد:
گام ۱- مدل مضربی یا پوششی CCR را برای واحدهای تحت بررسی حل کنید تا واحدهای کارا و غیر کارا مشخص شوند.
درصورتیکه واحد تحت ارزیابی واحد K باشد، مدل مضربی و پوششی آن همان طور که گفته شد به صورت زیر است:
(۲-۵)
یا
(۲-۶)
قابل توجه اینکه در مدل BCC محدودیت به مجموعه محدودیتهای فوق اضافه میگردد.
گام ۲- فقط واحدهای کارایی که امتیاز آن ها در قدم اول معادل یک شده درنظر بگیرید و از مجموعه محدودیت گام یک، محدودیت مربوط به آن واحد را حذف و دوباره مدل را حل کنید. در حالتی که واحد K واحد کارا باشد، در این گام در مدل مضربی، محدودیتهای شماره (۳) به صورت زیر خواهد بود:
و در مدل پوششی محدودیتهای ۵ و ۶ به صورت زیر میگردد:
(۲-۷)
از آنجا که در گام ۲ محدودیت مربوط به واحد تحت بررسی که حد بالای آن عدد ۱ میباشد حذف میشود، مقدار کارایی میتواند بیش از یک گردد. بهاین ترتیب، واحدهای کارا با امتیازاتی بالاتر از یک رتبهبندی میگردند (باقریزاده، ۱۳۹۱، ۴۷ الی ۴۹)
مدل سوییشی
مدل AP برای واحدهای تصمیمگیرندهای که ورودی آن ها نزدیک به صفر است، رتبهبندی منطقی به دست نمیدهد و حاصله ممکن است بسیار بزرگ باشد. به این دلیل مدل AP در ماهیت ورودی و برای ساختار خاصی از داده ها ناپایدار است.
سوییشی در سال ۱۹۹۹ کرانهای خاصی را بر روی وزنهای ورودی و خروجی، در مدل ابرکارایی تعریف کرد. او همانند مدلهای پیشین، واحد تصمیمگیرنده تحت ارزیابی را از مجموعه حذف نمود و مدل متغیر کمکی را برای بقیه واحدها در نظر گرفت. مدل پیشنهادی سوییشی برای رتبهبندی واحدهای کارا به صورت زیر است:
(۲-۸)
مقدار تابع هدف مسئله (۲-۵) را با نشان میدهند و آن را به عنوان یک عدد نشانه درنظر میگیرند. در این مسئله مشکل نشدنی بودن که در مدل AP مطرح بود، همچنان باقی است (عبادی، ۱۳۹۰ : ۳۳).
مدل MAJ
با توجه به مشکلات اساسی در مدل AP، محرابیان و همکاران در سال ۱۹۹۹ مدل دیگری را که به (مدل MAJ معروف است) جهت رتبهبندی DMU های کارا مطرح کردند. در مدل AP حرکت به سوی مرز در امتداد شعاعی صورت گرفت که ممکن بود سطح پوششی PPS را قطع نکند. در این صورت مسئله جواب شدنی ندارد و یا ممکن بود در فاصله بسیار دور، سطج پوششی PPS را قطع نماید که در این صورت نیز مسئله ناپایدار میشد. در مدل ابرکارایی غیرشعاعی MAJ حرکت به سوی مرز در امتداد محورهای ورودی، در ماهیت ورودی و با قدمهای مساوی انجام میشود که مشکل ناپایداری را رفع میکند ولی مشکل نشدنی بودن برای بعضی داده ها، در این مدل همچنان وجود دارد. (عبادی، ۱۳۹۰ : ۳۴)
مدل SBM و Super SBM
درکنار مدلهای پایه، اصلاحات مشخصی نیز وجود دارد. یکی از آن ها که مدل SBM نام دارد توسط تونن[۵۸] (۲۰۰۱) طرح شد. این مدل به عنوان پایهای برای تعریف ابرکارایی[۵۹] به کار میرود. کارایی تنها با متغیرهای اضافه s+ و s– اندازهگیری میشود. فرمول مدل که بازگشت به مقیاس ثابت را ارائه میدهد به صورت زیر است:
(۲-۹)
متغیرهای s+ و s– فاصله ورودیهای Xl و خروجیهای Yl مربوط به یک واحد مجازی از آن واحدی است که ارزیابی شده است (Xq). صورت و مخرج تابع هدف مدل (۲-۶)، به ترتیب فاصله متوسط ورودیها و خروجیها از آستانه کارایی را نشان میدهد.
برای متغیرهای بازگشت به مقیاس، تنها نیاز است که شرط eTl=1 به فرمول اضافه شود. میتوانیم نشان دهیم نرخ کارایی SBM همیشه کوچکتر یا مساوی از مدل CCR ورودی محور است. بهاین معنی است که واحدی که در SBM کارا است، همزمان در CCR نیز کارا است.
برای بررسی واحدهای کارا، میتوانیم از مدلهای ابرکارایی استفاده نماییم. برخلاف مدل CCR و BCC این مدلها میتوانند نرخ کارایی واحدهای کارا را محاسبه نمایند.
مدل super SBM برپایه مدل SBM است. بعد از حذف شدن از واحد جمعیت DMUq که محاسبه شده، این مدل جستجو میکند تا یک واحد مجازی DMU* با ورودی X* و خروجی Y* که بعد از حذف، در مدل SBM کارا باشد بیابد. به نظر میرسد، ورودیها به واحد DMU* ، بزرگتر یا مساوی آنهایی است که به واحد DMUq محاسبه شده وارد میشود و همه خروجیها کوچکتر یا مساوی آن DMUq خواهد بود. نرخ ابرکارایی به صورت فاصله بین ورودیها و خروجیهای DMU* و DMUq تعریف میشود. فاصله با متغیر d نشان داده شده است. مدل super SBM به صورت زیر نوشته میشود:
(۲-۱۰)
مدل ورودی محور super SBM از مدل (۲-۷) با احتساب مخرج ۱ استخراج میشود. مدل super SBM یک مقدار برای تابع هدف میدهد که بزرگتر یا مساوی یک است. هرچه مقدار بیشتر باشد، واحد کارا تر است (وینکووا، ۲۰۰۵، ۲۶ و ۲۷)
سایر مدلها
برای برطرف کردن این مشکل، ساعتی و همکاران در سال ۱۹۹۹ مدلی را پیشنهاد کردند که در آن کاهش ورودیها همزمان با افزایش خروجیها – با اندازه مساوی – DMU ی تحت ارزیابی را روی مرز کارایی تصویر کند. این مدل همواره شدنی است. (عبادی، ۱۳۹۰ : ۳۴)
جهانشاهلو و همکاران تکنیک نرمال کردن را به گونهای تغییر دادند که این ناپایداری را برطرف نماید. آن ها در نرمال کردن، بهجای استفاده از بیشینهی ورودیها در هر مؤلفه تحت عنوان Ri، از Max ورودیهای واحدهای کارا، تحت عنوان Mi استفاده کردند. (عبادی، ۱۳۹۰ : ۳۴)